并行RLC電路分析

2022-06-02

并行RLC電路分析

并聯RLC電路由一個電阻器、電容器和電感器組成，它們在其端子處共享相同的電壓：

由于電壓保持不變，并聯配置的輸入和輸出被視為電流。

對于并聯配置，總阻抗的倒數(Z RLC )是每個組件的反向阻抗之和：1/Z RLC =1/Z R +1/Z L +1/Z C。換句話說，電路的總導納是每個組件導納的總和。

該總導納滿足：

因此，在取導納范數后，總阻抗由公式 1給出：

eq 1：并聯RLC電路的總阻抗

從等式 1可以清楚地看出，當1/Lω-Cω=0時，對于某個 ω 值，阻抗會達到峰值。該脈動稱為共振脈動ω 0（或共振頻率f 0 =ω 0 /2π）并且由ω 0 =1/√(LC)給出。

交流行為

阻抗的快速分析可以揭示并聯RLC電路的行為。考慮并聯RLC電路的組件的以下值：R=56 kΩ，L=3 mH，C=5 nF。

根據這些值，我們可以計算出系統的共振頻率ω 0 =2.6×10 5 rad/s。該電路由交流電源供電，其幅度為 5 A，頻率從直流變化到 4×10 5 rad/S。

圖 2是總阻抗和輸出電流與提供給電路的角脈動 ω 的函數關系圖：

圖 2：并聯RLC電路的總阻抗和輸出電流

該圖清楚地表明，在諧振頻率附近，電路的阻抗達到峰值，這導致在該相同頻率附近的電流輸出降低。

讓我們關注電路中發生的事情，更準確地說是電容器和電感器之間發生的事情，以了解這種行為。因此，首先考慮一個電容初始充電的 L//C 配置。下圖顯示了稱為共振的循環中涉及的步驟：

圖 3：L//C 電路的諧振周期

許多事情必須在圖 3中進行注釋。首先，紅色和綠色箭頭分別代表電容器兩端的電場和電感器兩端的磁場。箭頭表示場的方向，充滿電的組件用許多箭頭表示，而放電的組件沒有。

數字代表循環的步驟，數字8之后的下一步是步驟1。正如這一系列圖中所強調的，諧振現象是由于電容器和電感器之間發生相互充電和放電造成的。該周期演變的速度由諧振頻率f 0 =1/(2π√(LC)) 給出。

在實際電路中，這個循環當然不是永久的，因為內部電阻器通過焦耳加熱耗散能量。但是，交流電源可以強制電路保持電感器和電容器之間的這種電流交換。

具體來說，當ω源=ω 0時，能量交換最大，所有電流都在這兩個組件之間流動，而主線中沒有電流通過電阻（見圖 4）。另一種理解方式是通過電抗的概念。我們提醒一下，電容器 (X C ) 和電感器 (X L ) 的電抗由下式給出：

eq 2：電容和電感電抗

由ω 0的定義可知，X C (ω 0 )=X L (ω 0 )。由于電感器中的+90°相移和電容器中的 – 90°相移導致 180° 的相位差，因此組件上的電流相等但方向相反。這種現象可以在圖 3中的步驟 2 和 4 或步驟 6 和 8 中看到。

在 ω 0附近工作時，這種配置通常稱為抑制電路。我們將在下一節中詳細介紹這一點，我們將展示一個 L//C 電路可以與一個電阻器串聯以創建一個帶阻濾波器。

替代配置

帶阻濾波器

混合并聯和串聯設計的一種可能有趣的配置是與輸出負載串聯的并聯LC濾波器，我們將在下面將此電路稱為 (L//C)-R。下面的圖 4給出了這種架構的表示：

圖 4：(L//C)-R 電路示意圖

如果我們稱 Z L//C為并聯LC配置的阻抗，我們可以寫成 V in =V out +Z L//C ×I。知道 I=V out /R 并通過 V out分解表達式，我們可以在幾步之后寫出 (L//C)-R 電路的傳遞函數：

eq 2: (L//C)-R 傳遞函數

我們考慮 L=3 mH，C=5 nF，R=10 kΩ 和 20 kΩ。繪制此傳遞函數后，很明顯 (L//C)-R 電路充當與基本并聯RLC電路相同頻率 ω 0附近的帶阻濾波器：

圖 5：(L//C)-R 傳遞函數圖

圖5還強調了這個帶阻濾波器的帶寬Δω隨著電阻的增加而變窄的事實，這與RLC系列文章Q系列中給出的品質因數定義相矛盾=(1/R)√( L/C)=ω 0 /Δω。

事實上，這個定義對并聯電路無效，并聯配置的公式變為Q parallel =1/Q series =R√(C/L)，這解釋了之前精確定位的圖 4中的行為。

帶通濾波器

一個有趣的概念叫做對偶性，使我們能夠直接從另一個電路的知識中找到新電路的行為。由以下事實推導出：對某一構型施加電流或電壓的方程可以應用于對偶構型的對偶量。

讓我們更清楚一點，再次考慮上面詳述的帶阻濾波器示例。我們將此配置稱為 (L//C)-R，因為并聯 (//) LC電路與電阻R串聯 (-)。我們已經看到該電路充當電壓的帶阻濾波器。

該電路的對偶是 (L//R)//R 電路，如圖 6 所示：

圖 6：圖 5 的雙電路

對偶概念告訴我們，這個對偶電路充當帶阻濾波器的對偶，即帶通濾波器。為了驗證這個結論，我們可以從寫出 I in =I out +Y L//C ×V out 開始，這與上一節中顯示的等式相同，但適用于電流，如對偶概念所述。Y L//C是配置 L//C 的導納，等于 1/Z L//C。

知道 V out =R×I out并通過用 I out分解表達式，得到：

eq 3: (L//C)//R 傳遞函數

我們可以看到等式 3與等式 2非常相似，但虛數項是相反的，這導致了帶通濾波器的行為。我們可以再次考慮相同的值 L=3 mH、C=5 nF 和 R=10 kΩ 和 20 kΩ，并繪制此傳遞函數，以便結束本節并確認帶通濾波器：

圖 7：(L//C)//R 傳遞函數圖

結論

并聯RLC電路的行為與串聯配置完全不同。這是由于 L//C 電路的能量相互交換現象稱為共振。

這種現象是由于互連的電感器和電容器之間發生的相互放電/充電。這種電路的阻抗理論上在特定的脈動 ω 0處趨于無窮大，稱為諧振脈動（或 f 0的諧振頻率）。在實際電路中，這種阻抗由于內部電阻行為而達到峰值。

輸出負載串聯集成，可以制成帶阻濾波器。然而，并聯連接會導致相反的濾波器：帶通濾波器