濾波電路介紹

2021-06-24

濾波電路介紹

我們介紹了電路分析的基本概念：節點和環路技術、無源元件及其方程，以及雙極晶體管?，F在，您應該能夠在時域中進行簡單的分析，預測帶二極管的電路的工作模式并計算簡單放大器的偏置點。

然而，現實生活中的電路很難在時域中求解，因為系統將由幾個微分方程組成。當非線性組件添加到混合中時，復雜程度變得不切實際。在這種情況下，開發了頻域分析，使用拉普拉斯和傅立葉變換來代數求解微分方程。

本指南將以實用的方式展示頻率分析的基本原理，并將其應用于無源線性電路。我們還將討論在其設計中使用頻率分析原理的不同濾波器電路，例如低通濾波器、高通濾波器和帶通濾波器。

頻域分析 

我們的大腦用于以時間為參考來理解世界和過程的行為。這稱為“時域”分析，我們很想用這個框架來考慮一切，包括電子電路。但是，由于微分方程通常不是很直觀，而且求解起來極其困難，因此這種方法對電路分析會適得其反。因此，工程師和數學家使用拉普拉斯變換開發了“頻域”框架。

圖 1：時域分析與頻域分析。 

拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是一種數學工具，通過將時間自變量“t”轉換為復頻率自變量“s”，將微分方程組轉換為代數系統。求解步驟包括： 

將變換應用于節點系統的每個方程。

求解 's' 中的系統。

應用拉普拉斯逆變換以獲得時域中的解。 

下面的等式描述了拉普拉斯變換，它是一個積分變換：

正如您可能假設的那樣，這些變換很復雜，而且很難從數學上獲得。然而，由于線性特性，拉普拉斯變換可以直接應用于單個組件而不是整個節點方程。因為描述電子元件的方程是眾所周知的，所以它們的拉普拉斯變換在文獻中很容易找到?，F在，求解過程變得有點不同：

將拉普拉斯變換應用于電路的每個組件和信號。

使用節點或循環方法來解決's'中的系統。

應用拉普拉斯逆變換以獲得時域中的解。

線性組件

可以使用拉普拉斯直接變換每個分量的基本方程。這導致表示組件先前存儲的能量的項和與電壓和電流之間的比率成比例的項。后一項稱為阻抗，它充當頻率相關電阻。

電阻：如第一個教程中所見，電阻方程在時間上是恒定的：

由于拉普拉斯變換的性質，常數函數的變換只是相同的常數。因此，電阻器的頻率表示是電阻器本身。

電容器：另一方面，電容器方程由電壓的時間導數定義：

該方程的拉普拉斯變換為：

我們可以用以下方式重寫方程：

請注意，此等式遵循基爾霍夫電壓定律。使用這個方程，我們可以在頻域中找到電容器的電路模型。圖 2 顯示了頻域模型與時域模型的比較。

圖 2：電容器的頻率表示

Vc(0-)/t 項表示電容器儲存的電壓，1/sC 項稱為容抗。存儲的電壓項是一個瞬態信號，隨著電容器放電呈指數下降至零。在靜止狀態下，只有阻抗項很重要，并且電容器等效于值為 1/sC 的“s”相關電阻器。

電感器：類似于電容器，電感器由電流的時間導數定義：

該方程的拉普拉斯變換為：

我們可以重寫等式：

該方程遵循基爾霍夫電流定律，因此是一個節點方程。我們可以將該等式的等效電路表示為電流源 I(s)、并聯電流源 iL(0-)/s 和并聯阻抗 sL，如圖 3 所示。

圖 3：電感的頻率表示

與電容器情況類似，iL(0-)/s 項是存儲的電流，sL 是電感阻抗。在靜止狀態下，電感的作用就像一個依賴于''的電阻，因此得名“阻抗”。 

信號

信號源（電壓和電流）也是時間的函數。因此，如果工程師對信號的演化感興趣，在應用拉普拉斯變換時，也應將這些元素轉換到頻域。

正弦：這是電子學中最重要的信號之一。不僅因為正弦很容易產生，還因為任何信號都可以描述為正弦之和。轉換正弦波時，請使用以下恒等式：

階躍：階躍函數也對電子學感興趣，尤其是驗證瞬態方面，例如上升時間、溢出、穩定時間等。

例子

為了更好地理解該方法，讓我們解決一個簡單的問題?？紤]下面的電路，我們是否需要獲得電容器電壓 V C： 

圖 4：時域中與簡單 RC 串聯的階躍信號 

電壓V S-與振幅“V的階梯函數IN ”和電容器進行初始放電。現在，我們應用拉普拉斯變換，得到：

圖 5：在頻域中與簡單 RC 串聯的階躍信號 

電容器電流I- ?可以被描述為：

因此，我們需要找到 V 1。由于電容器最初放電，我們可以考慮 。該電路可以通過對節點 1 應用節點分析來求解。 使用基爾霍夫電流定律，我們得到：

現在，隔離 V 1：

現在我們可以找到電容器電流：

最后，我們應用逆拉普拉斯變換。請記住，技術文獻提供了電子電路中重要的幾個函數的變換和逆變換，因此我們不需要計算積分。使用身份：

我們可以在時域中找到當前的 I C：

這一結果是有道理的，因為目前的指數級下降與新的電壓V電容器充電IN-。在 t->infinity 中，電流降至零。請注意，指數因子的比率由 RC 定義。該參數稱為時間常數，描述信號在電路中變化的速度。 

過濾器 

雖然拉普拉斯變換可以很容易地應用于及時發現信號，但電子分析通常可以直接在頻域中執行。即：逆變換通常不是必需的。頻域分析，也稱為小信號分析（用于有源電路），可以使用傳遞函數的概念在所有線性電路中進行。在這些情況下，我們考慮靜止狀態的電路。因此，之前的任何電荷和電流都已消散，因此我們無需考慮它們。 

傳遞函數分析 

傳遞函數 (TF) 是一個完整描述線性電路在頻域中的功能的函數。要獲得 TF，應定義三件事：電路結構、輸入和輸出。TF 基本上是給定電路的輸入和輸出之間的比率。例如，考慮到輸入 V S和輸出 V 1，圖5 中電路的傳遞函數為：

在傳遞函數中，' s ' 可以替換為 ' j ω '，其中 'j' 是虛數單位，而“ω” 是輸入信號的頻率，單位為 rad/s。通常我們使用以 Hz 為單位的頻率，即 f = ω/(2π)。

對于正弦波（僅適用于正弦波或恒定信號），TF(w) 傳遞函數充當復數增益。復數增益具有模數和相位：模數直接乘以輸入幅度，而相移則加到輸入相位上。在本教程中，為簡單起見，我們不會討論相位，但重要的是要知道 TF 引入了相移?？梢允褂靡韵碌仁秸业皆鲆婺Ａ浚?span>

低通濾波器

現在我們終于可以討論主要的過濾器結構了。最常見和最有用的濾波器類型是“低通濾波器”，它負責消除高于所需點的頻率。低通濾波器 (LPF) 的兩種經典拓撲如下所示：

圖 6：使用電容器、電阻器和電感器的低通濾波器

考慮輸入和輸出，讓我們計算兩個濾波器的 LPF 1 (s) 和 LPF 2 (s)。請注意，我們已經將組件轉換為其阻抗形式。使用簡單的節點方程求解，然后將 s 替換為：

兩個濾波器的增益模數變為：

截止頻率為：

分別用于 RC 和 RL 電路。LPF 的增益與頻率曲線如下所示。

圖 7：低通濾波器增益 

對于低于截止頻率的頻率，增益大約為 1，這與在 DC 中電容器開路而電感器短路的想法一致，隨著頻率從截止頻率增加，增益呈指數下降。

高通濾波器 

高通濾波器與低通濾波器相反。它的工作是消除低于截止頻率的頻率。我們通?？梢酝ㄟ^切換電路元件的位置來創建高通濾波器。例如，從圖6的低通濾波器切換電阻器和電容器，我們有一個高通 RC 濾波器。在 LR 情況下也會發生同樣的情況，如下所示。

圖 8：使用電容器、電阻器和電感器的高通濾波器

使用與低通濾波器分析完全相同的方法，我們可以找到高通濾波器 (HPF) 增益的模數，如下所述：

請注意，分母表現出與低通濾波器相同的行為。然而，現在分子隨頻率增加，對于直流信號為零。這意味著，在截止頻率之前（分母約為 1），分子從零開始隨頻率增長。到達截止點后，

，分母可以簡化為

，與分子相同，因此增益模數為 1。因此，高通濾波器的增益模數對于高于截止頻率的頻率為 1，對于高于截止頻率的頻率小于 1（最終達到零）頻率小于截止頻率。這種行為可以在下圖中看到：

圖 9：高通濾波器增益

帶通濾波器 

帶通濾波器 (BPF) 可以看作是 HPF 和 LPF 的組合：它抑制低于較低截止頻率和較高截止頻率之后的頻率。這種增益曲線

圖 10：帶通濾波器增益

帶通電路的典型框圖如下所示。電路實現可能有很大差異，但除了框圖外還給出了一個 RC 示例。和 的設計方程與為單個 LPF 和 HPF 電路給出的設計方程相同。

圖 11：帶通濾波器增益 

高階濾波器

本教程中給出的電路稱為一階濾波器。也就是說，時間導數是一階的（這意味著“s”變量指數為 1）?？梢越M合電感器和電容器或有源器件來制作高階濾波器，從而使“s”指數大于 1 并具有更好的抑制能力。這些過濾器將在以后的教程中討論。